Đề kiểm tra 1 tiết Toán 12 chương 6: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu - Đề số 1

Khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục mà khoảng cách giữa \(\left( \alpha  \right)\) và trục nhỏ hơn bán kính hình trụ thì ta được thiết diện là hình chữ nhật.

Do $D$ đối xứng với $C$ qua $B$ nên có $BC = DC = AC$ suy ra tam giác $ABD$ là tam giác vuông tại $A$.

Kẻ đường thẳng $d$ qua $C$ vuông góc với đáy, đường thẳng này là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy $ABD$ .

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ , gọi $M$ là trung điểm $AB,H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$

 \( \Rightarrow H \in SM;SM = \sqrt {S{A^2} - A{M^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}\)

\(SH = \dfrac{{AB.SA.SB}}{{4.{S_{SAB}}}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}.a}}{{4.\dfrac{1}{2}.a.AM}} = \dfrac{{4a}}{{\sqrt {39} }}\)

Trong $\left( {SAC} \right)$  dựng\(HI \bot SM\left( {I \in d} \right)(1)\).

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SM\\AB \bot MC\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SMC} \right) \Rightarrow AB \bot HI(2)\)

Từ (1), (2) suy ra \(HI \bot \left( {SAB} \right)\) , suy ra $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp $S.ABD$

Gọi \(Q = MS \cap CI\), xét tam giác $SCM$ có

\(\dfrac{{SM}}{{QM}} = \dfrac{{MG}}{{MC}} = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow QM = 3SM = 3.\dfrac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{2}\)

\( \Rightarrow QH = QM - MS + HS\) \( = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{2} - \dfrac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }} + \dfrac{{4a}}{{\sqrt {39} }} = \dfrac{{17a}}{{\sqrt {39} }}\)

\(QC = \sqrt {Q{M^2} - M{C^2}}  = 3a\)

Xét: \(\Delta QHI \sim \Delta QCM \Rightarrow \dfrac{{HI}}{{CM}} = \dfrac{{HQ}}{{QC}}\) \( \Rightarrow HI = \dfrac{{HQ.CM}}{{QC}} = \dfrac{{17a}}{{6\sqrt {13} }}\)

\( \Rightarrow R = SI = \sqrt {H{I^2} + H{S^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt {17} }}{{6\sqrt {13} }}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{4a}}{{\sqrt {39} }}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {37} }}{6}\)