Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11

Đề kiểm tra 1 tiết Toán 11 chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đề số 2

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Tìm tập xác định của hàm số sau $y = \tan 3x.\cot 5x$

A

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
B

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{5} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
C

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{4},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
D

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$

Câu 2 :

Nghiệm của phương trình $\sqrt 3 \tan x + 3 = 0$ là:

A

$x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
D

$x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Câu 3 :

Nghiệm của phương trình ${\sin ^2}x + \sin x = 0$ thỏa điều kiện: $ - \dfrac{\pi }{2} < x < \dfrac{\pi }{2}$.

A

$x = 0$.
B

$x = \pi $.
C

$x = \dfrac{\pi }{3}$.
D

$x = \dfrac{\pi }{2}$.

Câu 4 :

Nghiệm của phương trình $\cos 3x = \cos x$ là:

A

$k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$k2\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$\dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)$
D

$k\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

Câu 5 :

Hàm số nào sau đây có đồ thị không là đường hình sin?

A

$y = \sin x$
B

$y = \cos x$
C

$y = \sin 2x$
D

$y = \cot x$

Câu 6 :

Tìm tập xác định của hàm số sau $y = \tan \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right)$.

A

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{3} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}$
B

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}$
C

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}$
D

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Câu 7 :

Đồ thị hàm số $y = \tan x$ nhận đường thẳng nào sau đây là tiệm cận?

A

$y = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
D

$y = \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)$

Câu 8 :

Hàm số $y = \cos x$ nghịch biến trên mỗi khoảng:

A

$\left( {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)$
B

$\left( { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)$
C

$\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)$
D

$R$

Câu 9 :

Nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ là:

A

$x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $.
B

$x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi $.
C

$x = k\pi $.
D

$x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $.

Câu 10 :

Với giá trị nào của $m$ dưới đây thì phương trình $\sin x = m$ có nghiệm?

A

$m = - 3$
B

$m = - 2$
C

$m = 0$
D

$m = 3$

Câu 11 :

Giải phương trình $1 + {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x + {\rm{tan}}x = 0$.

A

$x = \pi + k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi $.
B

$x = \pi + k2\pi ,x = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi $.
C

$x = \pi + k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi $.
D

$x = \pi + k2\pi ,x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi $.

Câu 12 :

Cho phương trình $\sin x = \sin \alpha $. Chọn kết luận đúng.

A

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = \pi - \alpha + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
B

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
C

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
D

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = - \alpha + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Câu 13 :

Tập giá trị của hàm số $y = \sin x$ là:

A

$\left( { - 1;1} \right)$
B

$\left[ { - 1;1} \right]$
C

$R$
D

$\left[ {0;1} \right]$

Câu 14 :

Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau $y = \sin 3x + 2\cos 2x$.

A

${T_0} = 2\pi $
B

${T_0} = \dfrac{\pi }{2}$
C

${T_0} = \pi $
D

${T_0} = \dfrac{\pi }{4}$

Câu 15 :

Nghiệm của phương trình $\cos 7x\cos 5x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 - \sin 7x\sin 5x$ là:

A

$\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
B

$\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
C

$x = k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
D

$\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 16 :

Một trong các họ nghiệm của phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$ là:

A

$x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi $.
B

$x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.
C

$x = k\pi $.
D

$x = - \dfrac{{11\pi }}{6} + k2\pi $.

Câu 17 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3\sin x + 4\cos x + 1$:

A

$\max y = 6;\min y = - 2$
B

$\max y = 4;\min y = - 4$
C

$\max y = 6;\min y = - 4$
D

$\max y = 6;\min y = - 1$

Câu 18 :

Tập nghiệm của phương trình $\tan x.\cot x = 1$ là:

A

$R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$
B

$R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$
C

$R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$
D

$R$

Câu 19 :

Để phương trình $\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}$ có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:

A

$\left| a \right| \ge 1$
B

$\left| a \right| > 1$
C

$\left| a \right| = 1$
D

$\left| a \right| \ne 1$

Câu 20 :

Với giá trị nào của $m$ thì phương trình $\left( {1 - m} \right){\tan ^2}x - \dfrac{2}{{\cos x}} + 1 + 3m = 0$ có nhiều hơn 1 nghiệm trên $\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$ ?

A

$m \ne \dfrac{1}{2}$
B

$m = \dfrac{1}{2}$
C

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3} < m < 1\\m \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$
D

$\dfrac{1}{3} < m < 1$

Câu 21 :

Giải phương trình $3{\sin ^2}2x - \sin 2x\cos 2x - 4{\cos ^2}2x = 2$ ta được:

A

$x = \dfrac{1}{2}\arctan 3 + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,,\,\,x = \dfrac{1}{2}\arctan \left( { - 2} \right) + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$
B

$x = \arctan \dfrac{{1 + \sqrt {73} }}{{12}} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,,\,\,x = \arctan \dfrac{{1 - \sqrt {73} }}{{12}} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$
C

$x = \dfrac{1}{2}\arctan \dfrac{{1 + \sqrt {73} }}{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,,\,\,x = \dfrac{1}{2}\arctan \dfrac{{1 - \sqrt {73} }}{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$
D

$x = \arctan \dfrac{3}{2} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,,\,\,x = \arctan \left( { - 1} \right) + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Câu 22 :

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = \dfrac{{2\pi }}{3}\\\tan x.\tan y = 3\end{array} \right.$.

A

$\left\{ \begin{array}{l}x = \pi + k\pi \\y = - \dfrac{\pi }{3} - k\pi \end{array} \right.$.
B

$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \\y = - k\pi \end{array} \right.$.
C

$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\y = \dfrac{\pi }{3} - k\pi \end{array} \right.$
D

$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k\pi \\y = - \dfrac{\pi }{6} - k\pi \end{array} \right.$.

Câu 23 :

Tìm m để bất phương trình ${\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)^2} - 6\sin x + 8\cos x \ge 2m - 1$ đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

A

$m > 0$
B

$m \le 0$
C

$m < 0$
D

$m \le 1$

Câu 24 :

Số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình $\sin x + \left( {\sqrt 3 - 2} \right)\cos x = 1$ trên đường tròn lượng giác là:

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

$3$

Câu 25 :

Phương trình ${\sin ^2}3x + \left( {{m^2} - 3} \right)\sin 3x + {m^2} - 4 = 0$ khi $m = 1$ có nghiệm là:

A

$x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)$
B

$x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$
C

$x = - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$
D

$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Tìm tập xác định của hàm số sau $y = \tan 3x.\cot 5x$

A

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
B

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{5} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
C

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{4},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
D

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Hàm số $y = \tan x$ xác định nếu $\cos x \ne 0$.

- Hàm số $y = \cot x$ xác định nếu $\sin x \ne 0$.

- Sử dụng các công thức

$\cos a \ne 0 \Leftrightarrow a\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$

$\sin a \ne 0 \Leftrightarrow a\ne k\pi$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\tan 3x=\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}$ và $\cot 5x=\dfrac{\cos 5x}{\sin 5x}$

=> Điều kiện của hàm số là:

$\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ne 0\\\sin 5x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\5x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3}\\x \ne k\dfrac{\pi }{5}\end{array} \right.$

Câu 2 :

Nghiệm của phương trình $\sqrt 3 \tan x + 3 = 0$ là:

A

$x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
D

$x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Biến đổi phương trình về phương trình lượng giác cơ bản $\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi $

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\sqrt 3 \tan x + 3 = 0 \Leftrightarrow \tan x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Câu 3 :

Nghiệm của phương trình ${\sin ^2}x + \sin x = 0$ thỏa điều kiện: $ - \dfrac{\pi }{2} < x < \dfrac{\pi }{2}$.

A

$x = 0$.
B

$x = \pi $.
C

$x = \dfrac{\pi }{3}$.
D

$x = \dfrac{\pi }{2}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đưa phương trình về dạng tích, giải từng phương trình và tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện.

Lời giải chi tiết :

${\sin ^2}x + \sin x = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

TH1: $x = k\pi $ ta có:

$ - \frac{\pi }{2} < k\pi < \frac{\pi }{2}$ $ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < k < \frac{1}{2} \Rightarrow k = 0$

$ \Rightarrow x = 0$.

TH2: $x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi $ ta có:

$\begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} < - \frac{\pi }{2} + k2\pi < \frac{\pi }{2}\\ \Leftrightarrow 0 < k2\pi < \pi \\ \Leftrightarrow 0 < k < \frac{1}{2}\left( {VN} \right)\end{array}$

Vậy trong khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ thì phương trình chỉ có nghiệm duy nhất $x = 0$.

Câu 4 :

Nghiệm của phương trình $\cos 3x = \cos x$ là:

A

$k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$k2\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$\dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)$
D

$k\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Áp dụng $\cos x = \cos y \Leftrightarrow x = \pm y + k2\pi $ để giải phương trình.

Bước 2: Kết hợp nghiệm bằng đường tròn lượng giác.

Cách kết hợp:

+) Xét từng họ nghiệm và xác định điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn.

+) Tổng hợp các điểm biểu diễn và nhận xét vị trí tương quan giữa các điểm.

+) Các họ nghiệm có điểm biểu diễn cách đều:

+) Xác định góc $\alpha$ (nếu cần thiết) như trên hình và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

Ta có: $\cos 3x = \cos x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = x + k2\pi \\3x = - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k2\pi \\4x = k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right. $

Bước 2:

+) Với họ nghiệm $x=k\pi$ ta có:

Khi $k=0$ thì $x=0$, điểm biểu diễn là điểm A (Vẫn là điểm đó khi k chẵn)

Khi $k=1$ thì $x=\pi$, điểm biểu diễn là A' (Vẫn là điểm đó khi k lẻ).

Như thế họ nghiệm $x=k\pi$ có $2$ điểm biểu diễn là $A,A'$.

+) Với họ nghiệm $x= \dfrac{{k\pi }}{2}$ ta có:

Khi $k=0$ thì $x=0$, điểm biểu diễn là điểm A (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m, tức là k chia hết cho 4)

Khi $k=1$ thì $x= \dfrac{{\pi }}{2}$, điểm biểu diễn là B (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+1).

Khi $k=2$ thì $x= \pi$, điểm biểu diễn là A' (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+2).

Khi $k=3$ thì $x= \dfrac{{3\pi }}{2}$, điểm biểu diễn là B' (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+3).

Như thế họ nghiệm $x = \dfrac{{k\pi }}{2}$ có $4$ điểm biểu diễn là $A,A',B,B'$.

+) Kết hợp các điểm này lại ta được tổng cộng vẫn là 4 điểm $A,A',B,B'$. Mà 4 điểm này là 4 điểm biểu diễn của chính họ nghiệm $x = \dfrac{{k\pi }}{2}$ nên nghiệm của phương trình ban đầu là $x = \dfrac{{k\pi }}{2}$ $k \in Z$.

Câu 5 :

Hàm số nào sau đây có đồ thị không là đường hình sin?

A

$y = \sin x$
B

$y = \cos x$
C

$y = \sin 2x$
D

$y = \cot x$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Các hàm số sin, cos đều có đồ thị là đường hình sin nên các đáp án A, B, C đều có đồ thị là đường hình sin.

Câu 6 :

Tìm tập xác định của hàm số sau $y = \tan \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right)$.

A

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{3} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}$
B

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}$
C

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}$
D

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \tan u\left( x \right)$ xác định nếu $\cos u\left( x \right) \ne 0 \Leftrightarrow u\left( x \right) \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi $.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $\cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 2x + \dfrac{\pi }{3} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{2}$

Câu 7 :

Đồ thị hàm số $y = \tan x$ nhận đường thẳng nào sau đây là tiệm cận?

A

$y = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
D

$y = \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \tan x$.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số $y = \tan x$ nhận các đường thẳng $x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$ làm tiệm cận đứng.

Câu 8 :

Hàm số $y = \cos x$ nghịch biến trên mỗi khoảng:

A

$\left( {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)$
B

$\left( { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)$
C

$\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)$
D

$R$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = \cos x$ nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)$

Câu 9 :

Nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ là:

A

$x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $.
B

$x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi $.
C

$x = k\pi $.
D

$x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $.

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

$\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}$.

Câu 10 :

Với giá trị nào của $m$ dưới đây thì phương trình $\sin x = m$ có nghiệm?

A

$m = - 3$
B

$m = - 2$
C

$m = 0$
D

$m = 3$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Phương trình $\sin x = m$ có nghiệm nếu $\left| m \right| \le 1$ và vô nghiệm nếu $\left| m \right| > 1$

Đáp án A: $|m|=|-3|=3>1$=> Loại

Đáp án B: $|m|=|-2|=2>1$=> Loại

Đáp án C: $|m|=|0|=0\le 1$ => Nhận

Đáp án D: $|m|=|3|=3>1$=> Loại

Câu 11 :

Giải phương trình $1 + {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x + {\rm{tan}}x = 0$.

A

$x = \pi + k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi $.
B

$x = \pi + k2\pi ,x = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi $.
C

$x = \pi + k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi $.
D

$x = \pi + k2\pi ,x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi $.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng tích

Sử dụng công thức $\tan x=\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}$.

Bước 2: Giải phương trình tích và kiểm tra điều kiện.

Sử dụng công thức:

$\tan x = - 1 \Leftrightarrow x= - \dfrac{\pi }{4} + k\pi $

$\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi $

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

ĐK: $\cos x \ne 0$.

$1 + {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x + {\rm{tan}}x = 0$ $\Leftrightarrow \left( {1 + \tan x} \right) + \left( {\sin x + \cos x} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {1 + \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right) + \left( {\sin x + \cos x} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}} + \left( {\sin x + \cos x} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\dfrac{1}{{\cos x}} + 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right).\dfrac{{1 + \cos x}}{{\cos x}} = 0$

Bước 2:

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\\cos x + 1 = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - \cos x\\\cos x = - 1\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} = - 1\\\cos x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\cos x = - 1\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\left( {TM} \right)$

Câu 12 :

Cho phương trình $\sin x = \sin \alpha $. Chọn kết luận đúng.

A

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = \pi - \alpha + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
B

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
C

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
D

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = - \alpha + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Câu 13 :

Tập giá trị của hàm số $y = \sin x$ là:

A

$\left( { - 1;1} \right)$
B

$\left[ { - 1;1} \right]$
C

$R$
D

$\left[ {0;1} \right]$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = \sin x$ có tập giá trị $\left[ { - 1;1} \right]$.

Câu 14 :

Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau $y = \sin 3x + 2\cos 2x$.

A

${T_0} = 2\pi $
B

${T_0} = \dfrac{\pi }{2}$
C

${T_0} = \pi $
D

${T_0} = \dfrac{\pi }{4}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số $y = {f_1}\left( x \right),y = {f_2}\left( x \right)$ lần lượt có chu kỳ ${T_1},{T_2}$ thì hàm số $y = {f_1}\left( x \right) \pm {f_2}\left( x \right)$ có chu kỳ ${T_0} = BCNN\left( {{T_1},{T_2}} \right)$

Lời giải chi tiết :

Chu kì của hàm số $y = \sin 3x$ là $\dfrac{{2\pi }}{3}$, chu kì của hàm số $y = \cos 2x$ là $\pi $.

Chu kì của hàm số đã cho là $T = BCNN\left( {\dfrac{{2\pi }}{3};\pi } \right) = 2\pi $.

Câu 15 :

Nghiệm của phương trình $\cos 7x\cos 5x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 - \sin 7x\sin 5x$ là:

A

$\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
B

$\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
C

$x = k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
D

$\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Đưa về phương trình $a.\sin x+b.\cos x=c$

Bước 2: Chia cả 2 vế cho $\sqrt{a^2+b^2}$ và đưa về phương trình lượng giác cơ bản

Sử dụng công thức $\cos a\cos b - \sin a\sin b = \cos \left( {a + b} \right)$

Bước 3: Giải phương trình lượng giác

Sử dụng công thức $\cos x = \cos y \Leftrightarrow x = \pm y + k2\pi $

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

$\begin{array}{l}\cos 7x\cos 5x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 - \sin 7x\sin 5x\\ \Leftrightarrow \cos 7x\cos 5x + \sin 7x\sin 5x - \sqrt 3 \sin 2x = 1\\ \Leftrightarrow \cos \left( {7x - 5x} \right) - \sqrt 3 \sin 2x = 1\\ \Leftrightarrow \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x = 1\end{array}$

Bước 2:

$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos 2x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos 2x\cos \dfrac{\pi }{3} - \sin 2x\sin \dfrac{\pi }{3} = \cos \dfrac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{3}$

Bước 3:

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\2x + \dfrac{\pi }{3} = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 16 :

Một trong các họ nghiệm của phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$ là:

A

$x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi $.
B

$x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.
C

$x = k\pi $.
D

$x = - \dfrac{{11\pi }}{6} + k2\pi $.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Đưa $\dfrac{1}{2}$ về dạng $\sin \alpha $

Sử dụng máy tính để tìm $\alpha $:

SHIFT => MODE => 4 : chuyển về chế độ Radian

SHIFT => SIN => (1/2) =>"="

Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

$\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi }{6}$

Bước 2:

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Với $x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi $, cho $k = l - 1$ ta được $x = \dfrac{\pi }{6} + \left( {l - 1} \right)2\pi = - \dfrac{{11\pi }}{6} + l2\pi $.

Câu 17 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3\sin x + 4\cos x + 1$:

A

$\max y = 6;\min y = - 2$
B

$\max y = 4;\min y = - 4$
C

$\max y = 6;\min y = - 4$
D

$\max y = 6;\min y = - 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki: $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}$

Lời giải chi tiết :

$y = 3\sin x + 4\cos x + 1 \Leftrightarrow y - 1 $$= 3\sin x + 4\cos x$

${\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2}$

Ta coi $a = 3;b = 4;c = \sin x;d = \cos x$

Theo BĐT Bu-nhi-a Cốp-xki ta được:

${\left( {3.\sin x + 4.\cos x} \right)^2}$$ \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2} + {{\cos }^2}x} \right) = 25.1$

$ \Rightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} \le 25 \Leftrightarrow - 5 \le y - 1 \le 5$

$ \Leftrightarrow - 5 + 1 \le y \le 5 + 1 \Leftrightarrow - 4 \le y \le 6$

Vậy $\max y = 6;\min y = - 4$

Câu 18 :

Tập nghiệm của phương trình $\tan x.\cot x = 1$ là:

A

$R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$
B

$R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$
C

$R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$
D

$R$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức $\tan x.\cot x = 1$ nên ta chỉ cần tìm điều kiện xác định của phương trình.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2} \Rightarrow D = R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$

Do $\tan x.\cot x = 1,\forall x \in D$ nên tập nghiệm của phương trình là $R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$

Câu 19 :

Để phương trình $\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}$ có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:

A

$\left| a \right| \ge 1$
B

$\left| a \right| > 1$
C

$\left| a \right| = 1$
D

$\left| a \right| \ne 1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Biến đổi phương trình đã cho về phương trình đối với chỉ một hàm số lượng giác.

Lời giải chi tiết :

$\left\{ \begin{array}{l}1 - {\tan ^2}x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} \ne 0\\\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

$\begin{array}{l}\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {a^2} - 2\\ \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = 1 - {\cos ^2}x + {a^2} - 2\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right){\cos ^2}x = {a^2} - 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} < 1\end{array}$

Vì $\cos x \ne 0 \Rightarrow 0 < {\cos ^2}x \le 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x > 0 \Leftrightarrow {a^2} - 1 > 0 \Rightarrow \left| a \right| > 1$

Câu 20 :

Với giá trị nào của $m$ thì phương trình $\left( {1 - m} \right){\tan ^2}x - \dfrac{2}{{\cos x}} + 1 + 3m = 0$ có nhiều hơn 1 nghiệm trên $\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$ ?

A

$m \ne \dfrac{1}{2}$
B

$m = \dfrac{1}{2}$
C

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3} < m < 1\\m \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$
D

$\dfrac{1}{3} < m < 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Biến đổi phương trình đã cho thành phương trình bậc hai đối với $\cos x$.

- Đặt $t = \cos x$ và tìm điều kiện cho $t$.

- Phương trình đã cho có nhiều hơn một nghiệm nếu phương trình ẩn $t$ có nghiều hơn một nghiệm.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\left( {1 - m} \right){\tan ^2}x - \dfrac{2}{{\cos x}} + 1 + 3m = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right)\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{2}{{\cos x}} + 1 + 3m = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right){\sin ^2}x - 2\cos x + \left( {1 + 3m} \right){\cos ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right)\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) - 2\cos x + \left( {1 + 3m} \right){\cos ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow 4m{\cos ^2}x - 2\cos x + 1 - m = 0\end{array}$

Đặt $t = \cos x$.

Vì $x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)$ khi đó phương trình trở thành

$\begin{array}{l}4m{t^2} - 2t + 1 - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow m\left( {4{t^2} - 1} \right) - \left( {2t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {2t + 1} \right)\left( {2t - 1} \right) - \left( {2t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2t - 1} \right)\left( {2mt + m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{2} \in \left( {0;1} \right)\\2mt = 1 - m\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}$

Để phương trình ban đầu có nhiều hơn $1$ nghiệm thuộc $\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$ thì phương trình $(1)$ có nhiều hơn $1$ nghiệm thuộc $(0;1)$. Khi đó phương trình $(2)$ có nghiệm thuộc $\left( {0;1} \right)\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}$

Khi $m = 0$ ta có $0t = 1$ (vô nghiệm)

Khi $m \ne 0$ thì $\left( 2 \right) \Leftrightarrow t = \dfrac{{1 - m}}{{2m}}$

Để phương trình $(2)$ có nghiệm thuộc $\left( {0;1} \right)\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}$ thì

$\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\0 < \dfrac{{1 - m}}{{2m}} < 1\\\dfrac{{1 - m}}{{2m}} \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\dfrac{{1 - m}}{{2m}} > 0\\\dfrac{{1 - m}}{{2m}} < 1\\2\left( {1 - m} \right) \ne 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\dfrac{{1 - m}}{{2m}} > 0\\\dfrac{{1 - 3m}}{{2m}} < 0\\4m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\0 < m < 1\\\left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\\m \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3} < m < 1\\m \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Câu 21 :

Giải phương trình $3{\sin ^2}2x - \sin 2x\cos 2x - 4{\cos ^2}2x = 2$ ta được:

A

$x = \dfrac{1}{2}\arctan 3 + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,,\,\,x = \dfrac{1}{2}\arctan \left( { - 2} \right) + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$
B

$x = \arctan \dfrac{{1 + \sqrt {73} }}{{12}} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,,\,\,x = \arctan \dfrac{{1 - \sqrt {73} }}{{12}} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$
C

$x = \dfrac{1}{2}\arctan \dfrac{{1 + \sqrt {73} }}{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,,\,\,x = \dfrac{1}{2}\arctan \dfrac{{1 - \sqrt {73} }}{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$
D

$x = \arctan \dfrac{3}{2} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,,\,\,x = \arctan \left( { - 1} \right) + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Xét $\cos 2x = 0$ có thỏa mãn phương trình hay không.

- Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos ^2}2x \ne 0$.

Lời giải chi tiết :

Trường hợp 1: $\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$. Khi đó ${\sin ^2}2x = 1$

Thay vào phương trình ta có: $3.1 - 0 - 4.0 = 2 \Leftrightarrow 3 = 2$ (Vô lý)

$ \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$ không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: $\cos 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$.

Chia cả 2 vế của phương trình cho ${\cos ^2}2x$ ta được:

$3\dfrac{{{{\sin }^2}2x}}{{{{\cos }^2}2x}} - \dfrac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} - 4 = \dfrac{2}{{{{\cos }^2}2x}}$$ \Leftrightarrow 3{\tan ^2}2x - \tan 2x - 4 = 2\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right)$$ \Leftrightarrow {\tan ^2}2x - \tan 2x - 6 = 0$

Đặt $\tan 2x = t$. Khi đó phương trình trở thành

${t^2} - t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = - 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan 2x = 3\\\tan 2x = - 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \arctan 3 + k\pi \\2x = \arctan \left( { - 2} \right) + k\pi \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\arctan 3 + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{1}{2}\arctan \left( { - 2} \right) + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Câu 22 :

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = \dfrac{{2\pi }}{3}\\\tan x.\tan y = 3\end{array} \right.$.

A

$\left\{ \begin{array}{l}x = \pi + k\pi \\y = - \dfrac{\pi }{3} - k\pi \end{array} \right.$.
B

$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \\y = - k\pi \end{array} \right.$.
C

$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\y = \dfrac{\pi }{3} - k\pi \end{array} \right.$
D

$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k\pi \\y = - \dfrac{\pi }{6} - k\pi \end{array} \right.$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

+ Rút $y$ theo $x$ từ phương trình trên, thế xuống phương trình dưới.

+ Giải phương trình bằng cách sử dụng các công thức biến đổi lượng giác cơ bản.

Sử dụng công thức $\tan \left( {x - y} \right) = \dfrac{{\tan x - \tan y}}{{1 + \tan x.\tan y}}$

Giải phương trình cơ bản $\tan x = \tan y \Leftrightarrow x = y + k\pi $

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\y \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.$ .

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x + y = \dfrac{{2\pi }}{3}\\\tan x.\tan y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \dfrac{{2\pi }}{3} - x}&{\left( 1 \right)}\\{\tan x.\tan \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - x} \right) = 3}&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow \tan x.\dfrac{{\tan \dfrac{{2\pi }}{3} - \tan x}}{{1 + \tan \dfrac{{2\pi }}{3}.\tan x}} = 3 $

$ \Leftrightarrow \tan x.\dfrac{{ - \sqrt 3 - \tan x}}{{1 - \sqrt 3 \tan x}} = 3$ $ \Rightarrow - \sqrt 3 \tan x - {\tan ^2}x = 3 - 3\sqrt 3 \tan x$

$ \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 2\sqrt 3 \tan x + 3 = 0 $

Đặt $\tan x = t$, phương trình trở thành

$\begin{array}{l}{t^2} - 2\sqrt 3 t + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t - \sqrt 3 } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow t = \sqrt 3 \end{array}$

$\Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi $

Từ $\left( 1 \right) \Leftrightarrow y = \dfrac{\pi }{3} - k\pi $.

Câu 23 :

Tìm m để bất phương trình ${\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)^2} - 6\sin x + 8\cos x \ge 2m - 1$ đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

A

$m > 0$
B

$m \le 0$
C

$m < 0$
D

$m \le 1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bất phương trình $f\left( x \right) \ge m$ nghiệm đúng với mọi $x \in D$ nếu và chỉ nếu $m \le \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết :

Xét hàm số $y = {\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)^2} - 6\sin x + 8\cos x$$ = {\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)^2} - 2\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)$

$ = {\left( {3\sin x - 4\cos x - 1} \right)^2} - 1 \Rightarrow y \ge - 1 \Rightarrow \min y = - 1$ vì ${\left( {3\sin x - 4\cos x - 1} \right)^2} \ge 0;\forall x \in \mathbb{R}$.

Khi đó bất phương trình $y \ge 2m - 1;\forall x \in \mathbb{R}$$ \Leftrightarrow 2m - 1 \le \min y = - 1 \Leftrightarrow m \le 0$

Câu 24 :

Số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình $\sin x + \left( {\sqrt 3 - 2} \right)\cos x = 1$ trên đường tròn lượng giác là:

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

$3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$:$a.\sin x + b.\cos x = c$.

+) Chia cả 2 vế cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $

+) Đặt $\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha $; $\dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha $

Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản

+) Sử dụng công thức

$\sin x.\cos \alpha + \cos x.\sin \alpha = \sin \left( {x + \alpha } \right)$

$\cos \alpha = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right)$

$\sin x = \sin y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + k2\pi \\x = \pi - y + k2\pi \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

Với $a = 1;b = \sqrt 3 - 2;c = 1$ ta có:

$\begin{array}{l}\sin x + \left( {\sqrt 3 - 2} \right)\cos x = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } }}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 - 2}}{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } }}\cos x \\= \dfrac{1}{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } }}\end{array}$

Đặt $\dfrac{1}{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } }} = \cos \alpha \Rightarrow \dfrac{{\sqrt 3 - 2}}{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } }} = \sin \alpha $. Khi đó phương trình tương đương:

$\sin x\cos \alpha + \cos x\sin \alpha = \cos \alpha$

Bước 2:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \alpha } \right) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \alpha = \dfrac{\pi }{2} - \alpha + k2\pi \\x + \alpha = \dfrac{\pi }{2} + \alpha + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} - 2\alpha + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}$

Vì $\alpha \ne 0 \Rightarrow $ có 2 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình.

Câu 25 :

Phương trình ${\sin ^2}3x + \left( {{m^2} - 3} \right)\sin 3x + {m^2} - 4 = 0$ khi $m = 1$ có nghiệm là:

A

$x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)$
B

$x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$
C

$x = - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$
D

$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Thay $m = 1$ vào phương trình, đặt $\sin 3x = t$ và đặt điều kiện cho $t$.

- Giải phương trình bậc hai ẩn $t$, kiểm tra điều kiện và giải phương trình tìm nghiệm $x$.

Lời giải chi tiết :

Khi $m = 1$ phương trình có dạng: ${\sin ^2}3x - 2\sin 3x - 3 = 0$

Đặt $\sin 3x = t\,\,\left( { - 1 \le t \le 1} \right)$ khi đó phương trình có dạng ${t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\,\left( {tm} \right)\\t = 3\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$

$t = - 1 \Leftrightarrow \sin 3x = - 1 \Leftrightarrow 3x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Bài liên quan