Câu 1 Đề III trang 133 SGK Hình học 12 Nâng cao

LG a

Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ cắt hình hộp đã cho theo thiết diện là hình gì?

Lời giải chi tiết:

Giả sử $\left( \alpha  \right) \cap C'D' = E$ thì thiết diện của hình hộp khi cắt bởi $mp\left( \alpha  \right)$ là tứ giác DNB’E.
Ta có: 

$\left\{ \matrix{ \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = DN \hfill \cr  \left( \alpha \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = B'E \hfill \cr  \left( {ABCD} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow DN\parallel B'E.$

Tương tự ta có: 

$\left\{ \matrix{ \left( \alpha \right) \cap \left( {AA'B'B} \right) = {NB'} \hfill \cr  \left( \alpha \right) \cap \left( {CC'D'D} \right) = DE \hfill \cr  \left( {AA'B'B} \right)\parallel \left( {CC'D'D} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow NB'\parallel DE.$

Xét tứ giác DNB’E có: DN // B’E, NB’ // DE.
Vậy DNB’E là hình bình hành.

LG b

Chứng minh rằng mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ phân chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện ${H_1}$ và ${H_2}$ bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

$mp\left( \alpha  \right)$ chia khối hộp thành hai khối đa diện ${H_1}:ADNA'B'ED'$ và ${H_2}:C'B'ECDNB.$

Gọi O là giao điểm hai đường chéo B’D và NE của hình bình hành DNB’E suy ra O là trung điểm của B’D. Do đó O là tâm hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
Gọi ${D_{(O)}}$ là phép đối xứng qua tâm O ta có:

${D_{(O)}}$: $A \to C'$              

       $\eqalign{ & N \to E \cr  & B' \to D \cr  & E \to N \cr  & D' \to B \cr  & A' \to C \cr  & D \to B' \cr}$

$\Rightarrow$${D_{(O)}}$: $ADNA'B'ED' \to C'B'ECDNB$ hay ${D_{(O)}}$: ${H_1} \to {H_2}.$

Mà phép đối xứng tâm O là phép dời hình nên ${V_{{H_1}}} = {V_{{H_2}}}.$

LG c

Tính tỉ số thể tích của khối đa diện ${H_1}$ và thể tích của khối tứ diện AA’BD.

Lời giải chi tiết:

Gọi ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = V.$
Ta có: ${V_{AA'BD}} = {V_{A'.ABD}}.$

${S_{\Delta ABD}} = {1 \over 2}{S_{ABCD}}$

$\Rightarrow {V_{A'.ABD}} = {1 \over 3}AA'.{S_{\Delta ABD}}$$= {1 \over 3}.AA'.{1 \over 2}{S_{ABCD}} = {1 \over 6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {V \over 6}.$

Mà ${V_{{H_1}}} = {V_{{H_2}}} = {V \over 2}.$

Suy ra ${{{V_{{H_1}}}} \over {{V_{AA'BD}}}} = {{{V \over 2}} \over {{V \over 6}}} = 3.$

Loigiaihay.com