Câu 1 Đề II trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao

LG a

Chứng minh rằng 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ nằm trên một mặt cầu. Tìm bán kính của mặt cầu đó.

Lời giải chi tiết:

Câu 1.

Ta có: $B'C' = C'D' = D'B' = {a \over 2} \Rightarrow \Delta B'C'D'$ là tam giác đều cạnh ${a \over 2}.$
Và $AB' = AC' = AD' = {a \over 2} \Rightarrow$ AB’C’D’ là tứ diện đều cạnh ${a \over 2}.$
Gọi O và O’ lần lượt là tâm các tam giác đều BCD và B’C’D’.
Vì từ diện ABCD đều nên $AO \bot \left( {BCD} \right)$.
Vì từ diện AB’C’D’ đều nên $AO' \bot \left( {B'C'D'} \right)$.
Mà (BCD) // (B’C’D’)
Gọi E là trung điểm của CD. Dễ thấy tam giác EAB cân tại E nên $B'E \bot AB.$
Gọi H là trung điểm của BB', trong (ABE) kẻ đường thẳng d qua H và song song với B’E cắt AO tại I.

$\Rightarrow HI \bot AB.$

Ta có: $I \in HI \Rightarrow IB = IB'$

$\eqalign{ & I \in OA \Rightarrow IB = IC = ID \cr  & I \in O'A \Rightarrow IB' = IC' = ID' \cr}$

Từ đó suy ra $IB = IC = ID = IB’ = IC’ = ID’$.

Vậy điểm I cách đều 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ hay 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ cùng nằm trên mặt cầu tâm I bán kính R = IB.

Gọi  $J = B'E \cap AO.$

Tam giác BCD đều cạnh a nên $BE = {{a\sqrt 3 } \over 2} \Rightarrow OE = {1 \over 3}BE = {{a\sqrt 3 } \over 6}.$

Tam giác B’C’D’ đều cạnh ${a \over 2}$ nên $B'F = {{{a \over 2}\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 4} \Rightarrow B'O' = {2 \over 3}B'F = {{a\sqrt 3 } \over 6}.$
Vì B’F // BE nên theo định lí Ta-let ta có: ${{B'J} \over {JE}} = {{B'O'} \over {OE}} = 1 \Rightarrow B'J = JE. \Rightarrow B'J = {1 \over 2}B'E.$
Tam giác ACD đều cạnh a nên $AE = {{a\sqrt 3 } \over 2},AB' = {1 \over 2}AB = {a \over 2}.$

Xét tam giác vuông AB’E có: $B'E = \sqrt {A{E^2} - AB{'^2}}  = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over 4}}  = {{a\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow B'J = {{a\sqrt 2 } \over 4}.$
B’J // HI nên theo định lí Ta – let ta có: ${{B'J} \over {HI}} = {{AB'} \over {AH}} = {2 \over 3} \Rightarrow HI = {{3B'J} \over 2} = {{3{{a\sqrt 2 } \over 4}} \over 2} = {{3a\sqrt 2 } \over 8}$.
Xét tam giác vuông BHI có:

$BI = \sqrt {B{H^2} + H{I^2}}  = \sqrt {{{{a^2}} \over {16}} + {{9{a^2}} \over {32}}}  = \sqrt {{{11{a^2}} \over {32}}}  = {{a\sqrt {22} } \over 8} = R.$

LG b

Tính thể tích khối chóp D.BCC’B’.

Lời giải chi tiết:

 theo tỉ số $k = {1 \over 2} \Rightarrow {{{S_{AB'C'}}} \over {{S_{ABC}}}} = {1 \over 4} \Rightarrow {S_{BCC'B'}} = {3 \over 4}{S_{ABC}}.$
$\Rightarrow {{{V_{D.BCC'B'}}} \over {{V_{D.ABC}}}} = {3 \over 4} \Rightarrow {V_{D.BCC'B'}} = {3 \over 4}{V_{ABCD}}.$
Xét tam giác vuông AOE có:

$\eqalign{ & AO = \sqrt {A{E^2} - O{E^2}} = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over {12}}} = {{a\sqrt 6 } \over 3}. \cr  & {S_{BCD}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} \cr  & \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 3}AO.{S_{BCD}} = {1 \over 3}.{{a\sqrt 6 } \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over {12}}. \cr  & \Rightarrow {V_{D.BCC'B'}} = {3 \over 4}{{{a^3}\sqrt 2 } \over {12}} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over {16}}. \cr}$

Loigiaihay.com