Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi hàm số xác định tại \(x = {x_0}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Xét đồ thị hàm số ở đáp án D ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 1,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) =  - 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\). Do đó hàm số ở đáp án D không liên tục tại \(x = 1\).

Chọn D.