Phương pháp giải:

Hàm đa thức và hàm phân thức liên tục trên TXĐ của chúng.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x + 5\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\].

Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \) có TXĐ \(D = \left[ {6; + \infty } \right)\).

Do đó ba hàm số trên không thể liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Chọn D.