Phương pháp giải:

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x)$, để hàm số liên tục tại $x = 0$ khi và chỉ khi  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = f\left( 0 \right)$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\frac{{\sqrt {{x^4} + 4{x^2}} }}{x} = \frac{{\left| x \right|\sqrt {{x^2} + 4} }}{x} = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 4} \,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 0\\ - \sqrt {{x^2} + 4} \,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 0\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt {{x^2} + 4}  = 2;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ { - \sqrt {{x^2} + 4} } \right] =  - 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x)\end{array}$.

$\Rightarrow$ Hàm số không có giới hạn tại $x = 0$  nên không liên tục tại $x = 0.$

Vậy không có giá trị nào của $m$ để hàm số liên tục tại $x = 0.$

Chọn A.