Phương pháp giải:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại điểm $x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x + 1} \right) = 4$

$f\left( 3 \right) = 12 - 2m$.

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R} \Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $x = 3 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)$

$\Leftrightarrow 12 - 2m = 4 \Leftrightarrow 2m = 8 \Leftrightarrow m = 4$.

Chọn B.