Phương pháp giải:

+) Dựng $AA'//OO',\,\,BB''//OO'$ (A’ thuộc đường tròn $\left( {O'} \right)$ và $B'$ thuộc đường tròn $\left( O \right)$)

+) Xác định khoảng cách giữa OO’ và AB, chứng minh tam giác OAB’ vuông cân tại O.

+) Xác định mặt phẳng chưa O’A và song song với OB, đưa về bài toán khoảng cách từ điểm đếm mặt phẳng.

+) Xác định khoảng cách, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

Dựng $AA'//OO',\,\,BB''//OO'$ (A’ thuộc đường tròn $\left( {O'} \right)$ và $B'$ thuộc đường tròn $\left( O \right)$)

Ta có:

$\begin{array}{l}OO'//\left( {AA'B} \right) \supset AB\\ \Rightarrow d\left( {OO';AB} \right) = d\left( {OO';\left( {AA'B} \right)} \right) = d\left( {O';\left( {AA'B} \right)} \right)\end{array}$

Gọi $K$ là trung điểm của $A'B$ ta có

$\left\{ \begin{array}{l}O'K \bot A'B\\O'K \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow O'K \bot \left( {AA'B} \right) \Rightarrow d\left( {OO';\left( {AA'B} \right)} \right) = O'K = 2\sqrt 2$

Xét tam giác vuông $O'KB$ có :

$\cos \angle O'BK = \frac{{O'K}}{{O'B}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \angle O'BK = {45^0}$.

$\Delta O'A'B$ cân tại $O'$ có $\angle O'BA' = {45^0} \Rightarrow \angle O'BK = {45^0}$

$\Rightarrow \Delta O'A'B$ vuông tại $O' \Rightarrow O'A' \bot O'B$.

Kéo dài OB’ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $D$. Dễ dàng chứng minh được $ODB'O$ là hình bình hành $\Rightarrow OB//O'D \Rightarrow OB//\left( {O'AD} \right)$

$\Rightarrow d\left( {OB;O'A} \right) = d\left( {OB;\left( {O'AD} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {O'AD} \right)} \right)$ .

Gọi E là trung điểm của AD $\Rightarrow OE \bot AD$.

Trong $\left( {OO'E} \right)$ kẻ $OH \bot O'E$ ta có :

$\left\{ \begin{array}{l}AD \bot OE\\AD \bot OO'\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {OO'E} \right) \Rightarrow AD \bot OH$

$\left\{ \begin{array}{l}OH \bot O'E\\OH \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {O'AD} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {O'AD} \right)} \right) = OE$.

Ta có $OE$ là đường trung bình của tam giác $AB'D \Rightarrow OE = \frac{1}{2}AB' = \frac{1}{2}.4\sqrt 2  = 2\sqrt 2$ (Do tam giác $OAB'$ vuông cân tại O có $OA = 4$ nên $AB' = 4\sqrt 2$).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OO’E ta có : $OH = \frac{{OE.OO'}}{{\sqrt {O{E^2} + OO{'^2}} }} = \frac{{2\sqrt 2 .4}}{{\sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy $d\left( {O'A;OB} \right) = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

Chọn D.