Phương pháp giải:

Nếu $\left| q \right| < 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {q^n} = 0$

Lời giải chi tiết:

Ta có $1,\;a,\;{a^2},\;...,\;{a^n}$  là một cấp số nhân có công bội $a \Rightarrow 1 + a + {a^2} + ... + {a^n} = \frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}.$

 Tương tự:   $1 + b + {b^2} + ... + {b^n} = \frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}$

$\Rightarrow \lim I = \lim \frac{{\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} = \lim \left( {\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}.\frac{{1 - b}}{{1 - {b^{n + 1}}}}} \right) = \lim \left( {\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - {b^{n + 1}}}}.\frac{{1 - b}}{{1 - a}}} \right) = \frac{{1 - b}}{{1 - a}}.$

(Vì $\left| a \right| < 1,\;\;\left| b \right| < 1$$\Rightarrow \lim {a^{n + 1}} = \lim {b^{n + 1}} = 0$).

 Chọn C.