Phương pháp giải:

Cho \(\lim {u_n} = a,{\rm{ }}\lim {v_n} = b\). Ta có  \(\lim ({u_n} + {v_n}) = a + b\)             

Xét giới hạn: \(I = \lim f\left( n \right)\,\,\,(n \in {N^*}).\)  Nếu \(f\left( n \right)\) chứa n dưới dấu căn thì ta có thể nhân cả tử và mẫu với cùng một biểu thức liên hợp.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}K = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - 3\sqrt {4{n^2} + n + 1}  + 5n} \right)\\\;\;\; = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) - 3\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1}  - 2n} \right).\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
A = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right)\\
= \lim \frac{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}}\\
= \lim \frac{{{n^2} - 1}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}}\\
= \lim \frac{{1 - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^3}}}}} + 1}} = \frac{1}{{1 + 1 + 1}} = \frac{1}{3}.
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}B = \lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1}  - 2n} \right) = \lim \frac{{\left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1}  - 2n} \right)\left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1}  + 2n} \right)}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1}  + 2n}}\\ = \lim \frac{{4{n^2} + n + 1 - 4{n^2}}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1}  + 2n}} = \lim \frac{{n + 1}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1}  + 2n}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}  + 2}} = \frac{1}{{\sqrt 4  + 2}} = \frac{1}{4}.\\ \Rightarrow K = A - 3B = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} =  - \frac{5}{{12}}.\end{array}\)

Chọn C.