Phương pháp giải:

\(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{1}{{(k + 1)\sqrt k  + k\sqrt {k + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {\sqrt {k + 1}  + \sqrt k } \right)}} = \frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}\)

\( \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{2\sqrt 1  + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2  + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{(n + 1)\sqrt n  + n\sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt 1 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\)

Suy ra \({u_n} = 1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) = 1\)  do  \(\lim \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} = 0\)

 Chọn D.