Phương pháp giải:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $R \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^{}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).$  

Lời giải chi tiết:

Ta thấy hàm số $f\left( x \right)$ liên tục với mọi $x \ne 2.$

Ta có: $f\left( 2 \right) = a.2 + 3 = 2a + 3.$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt[3]{{4x}} - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{4x}} - 2} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{4x}}} \right)}^2} + 2.\sqrt[3]{{4x}} + 4} \right]}}{{\left( {x - 2} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{4x}}} \right)}^2} + 2.\sqrt[3]{{4x}} + 4} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{4x - 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{4x}}} \right)}^2} + 2.\sqrt[3]{{4x}} + 4} \right]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{4\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{4x}}} \right)}^2} + 2.\sqrt[3]{{4x}} + 4} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{4}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x}}} \right)}^2} + 2.\sqrt[3]{{4x}} + 4}} = \dfrac{4}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4.2}}} \right)}^2} + 2.\sqrt[3]{{4.2}} + 4}} = \dfrac{4}{{12}} = \dfrac{1}{3}.\end{array}$

$\Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $x = 2 \Leftrightarrow 2a + 3 = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow a =  - \dfrac{4}{3}.$

Vậy hàm số liên tục trên $R \Leftrightarrow a =  - \dfrac{4}{3}.$ 

Chọn  C.