Phương pháp giải:

Đưa biểu thức về dạng phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\) sau đó tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Từ đó ta tìm được GTLN của biểu thức P.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(2\sin x + \cos x - 4 \ne 0\;\;\forall x.\)

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{\sin x - 2\cos x - 3}}{{2\sin x + \cos x - 4}} \Leftrightarrow \sin x - 2\cos x - 3 = P\left( {2\sin x + \cos x - 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2P - 1} \right)\sin x + \left( {P + 2} \right)\cos x = 4P - 3\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

\(P\) xác định \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {\left( {2P - 1} \right)^2} + {\left( {P + 2} \right)^2} \ge {\left( {4P - 3} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{P^2} + 5 \ge 16{P^2} - 24P + 9 \Leftrightarrow 11{P^2} - 24P + 4 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{11}} \le P \le 2 \Rightarrow \max P = 2.\end{array}\)

Chọn A.