Phương pháp giải:

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ: \({S_{xq}} = {C_{day}}.h\)

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{day}}\)

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: Chiếc hộp giấy là hình lăng trụ tam giác đều có chiều cao \(h = 4r = 8\left( {cm} \right)\)

Xét mặt cắt đi qua tâm của 3 quả bóng ở lớp bên trên, cắt khối hộp là tam giác đều MNP, cắt 3 khối cầu là 3 hình tròn bán kính 2cm.

Giả sử cạnh của tam giác MNP đều bằng a \(\left( {cm} \right)\). Khi đó, \(MN = a,\,\,MH = \dfrac{a}{2};\,NH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét tam giác vuông MNH có tâm đường tròn nội tiếp là I, bán kính đường tròn nội tiếp \(r = 2cm\)

Diện tích tam giác MNH: \({S_{MNH}} = \dfrac{1}{2}{S_{MNP}} = pr \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{1}{2}\left( {a + \dfrac{a}{2} + \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right).2\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8} = \dfrac{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)a}}{2}\)

\( \Leftrightarrow a = 4\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\,\,\left( {cm} \right)\) \( \Rightarrow {S_{MNP}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{16{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \left( {4 + 2\sqrt 3 } \right) = 16\sqrt 3  + 24\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Chu vi tam giác MNP: \({C_{MNP}} = 3a = 3.4\left( {\sqrt 3  + 1} \right) = 12\sqrt 3  + 12\,\left( {cm} \right)\)

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: \({S_{xq}} = {C_{MNP}}.h = \left( {12\sqrt 3  + 12} \right).8 = 96\sqrt 3  + 96\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích của bìa là:  \(\left( {16\sqrt 3  + 24} \right).2 + 96\sqrt 3  + 96\, = 128\sqrt 3  + 144\left( {c{m^2}} \right)\).

Chọn: A