Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}$ trong đó r, l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.

Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là $S = 4\pi {R^2}$.

Lời giải chi tiết:

Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh AB ta nhận được hình nón có đường cao $h = AB = BC.\cos 30 = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$ và bán kính đáy $r = AC = BC.\sin 30 = 2a.\frac{1}{2} = a$.

Khi đó ta có ${S_1} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .a.2a + \pi .{a^2} = 3\pi {a^2}$.

Mặt cầu có đường kính AB có bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {S_2} = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 3\pi {a^2} \Rightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 1$

Chọn A.