Phương pháp giải:

a) Hai số nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1. Gọi d là ước chung lớn nhất của $2n + 3$ và $4n + 8$  sau đó chứng minh $d = 1$ .

b) Nhân thêm 2 vào cả hai vế của A, rồi thực hiện phép trừ $2A - A$ để tìm ra A.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi d là ước chung lớn nhất của $2n + 3$ và $4n + 8$ $\Rightarrow 2n + 3 \vdots d$ và $4n + 8 \vdots d$

$\begin{array}{l}2n + 3 \vdots d \Rightarrow 2\left( {2n + 3} \right) \vdots d \Rightarrow 4n + 6 \vdots d\\\left. \begin{array}{l}4n + 8 \vdots d\\4n + 6 \vdots d\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {4n + 8} \right) - \left( {4n + 6} \right) \vdots d\\ \Rightarrow 4n + 8 - 4n - 6 \vdots d \Rightarrow 2 \vdots d\end{array}$         

$\Rightarrow d = 1$  hoặc $d = 2$

Ta lại có: $2n + 3$ là số lẻ, mà $2n + 3 \vdots d$ nên $d = 2\,$ (vô lí). Do đó: $d = 1$

Vậy với mọi số tự nhiên $n$ hai số $2n + 3$ và $4n + 8$ nguyên tố cùng nhau.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}2A = 1.2 + 2.2 + {2^2}.2 + ... + {2^{30}}.2 \Leftrightarrow 2A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{31}}\\ \Rightarrow 2A - A = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{31}}} \right) - \left( {1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{30}}} \right)\\ \Rightarrow A = {2^{31}} - 1\\ \Rightarrow A + 1 = {2^{31}} - 1 + 1 = {2^{31}}\end{array}$

Vậy $A + 1 = {2^{31}}$