Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức trung điểm đoạn thẳng và quy tắc 3 điểm để tìm mối qua hệ giữa $\overrightarrow {KD} ,\,\,\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC}$

Quy tắc trung điểm: M là trung điểm của AB  thì $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0$ và với I  bất kì ta có: $\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = 2\overrightarrow {IM} .$

Lời giải chi tiết:

Ta có M là trung điểm của AB $\Rightarrow \overrightarrow {MB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$

N là điểm thuộc AC sao cho $\overrightarrow {CN}  = 2\overrightarrow {NA}  \Rightarrow \overrightarrow {NC}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}$

K là trung điểm của MN $\Rightarrow \overrightarrow {KM}  + \overrightarrow {KN}  = \overrightarrow 0$

Ta có  D là trung điểm của BC $\Rightarrow \overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {KC}  = 2\overrightarrow {KD}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {KD}  = \frac{{\overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {KC} }}{2} = \frac{{\overrightarrow {KM}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {KN}  + \overrightarrow {NC} }}{2}\\ = \frac{{\left( {\overrightarrow {KM}  + \overrightarrow {KN} } \right) + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} }}{2} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\end{array}$

Chọn A.