Phương pháp giải:

+) Sử dụng các tính chất chia hết để làm bài toán.

+) Sử dụng các quy tắc tính tổng và nhân thêm để có thể tính được biểu thức của bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Theo đề bài ta có:

a chia cho 5 dư 4 nên $\left( {a - 4} \right)\; \vdots \;5 \Rightarrow 4\left( {a - 4} \right)\; \vdots \;5 \Leftrightarrow \left( {4a - 16} \right)\; \vdots \;5 \Rightarrow \left( {4a - 1} \right)\; \vdots \;5$

a chia cho 7 dư 2 nên $\left( {a - 2} \right)\; \vdots \;7 \Rightarrow 4\left( {a - 2} \right)\; \vdots \;7 \Leftrightarrow \left( {4a - 8} \right)\; \vdots \;7 \Rightarrow \left( {4a - 1} \right)\; \vdots \;7$

a chia cho 9  dư 7 nên $\left( {a - 7} \right)\; \vdots \;9 \Rightarrow 4\left( {a - 7} \right)\; \vdots \;9 \Leftrightarrow \left( {4a - 28} \right)\; \vdots \;9 \Rightarrow \left( {4a - 1} \right)\; \vdots \;9$

$\Rightarrow \left( {4a - 1} \right)$ chia hết cho $5,\;7,\;9.$

Hay $\left( {4a - 1} \right) = BC\left( {5;\;7;\;9} \right)$

Mà $a$ nhỏ nhất $\Rightarrow \left( {4a - 1} \right) = BCNN\left( {5;\;7;\;9} \right) = 5.7.9 = 315.$

$\Rightarrow 4a - 1 = 315 \Leftrightarrow 4a = 316 \Leftrightarrow a = 79.$

Vậy $a = 79$ là số cần tìm.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}A = {1.2^2} + {2.3^2} + {3.4^2} + ..... + {2017.2018^2}\\ = 1.2.\left( {3 - 1} \right) + 2.3.\left( {4 - 1} \right) + 3.4.\left( {5 - 1} \right) + ....... + 2017.2018.\left( {2019 - 1} \right)\\ = \left( {1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... + 2017.2018.2019} \right) - \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + .....2017.2018} \right)\end{array}$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}M = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... + 2017.2018.2019\\N = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...... + 2017.2018\end{array} \right.$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}4M = 1.2.3.4 + 2.3.4.\left( {5 - 1} \right) + 3.4.5.\left( {6 - 2} \right) + ..... + 2017.2018.2019.\left( {2020 - 2016} \right)\\\;\;\;\;\;\; = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.1 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + ........ + 2017.2018.2019.2020 - 2016.2017.2018.2019\\\;\;\;\;\;\; = 2017.2018.2019.2020\\ \Rightarrow M = \frac{{2017.2018.2019.2020}}{4} = 505.2017.2018.2019.\end{array}$

$\begin{array}{l}3N = 1.2.3 + 2.3.\left( {4 - 1} \right) + 3.4.\left( {5 - 2} \right) + ...... + 2017.2018.\left( {2019 - 2016} \right)\\\;\;\;\;\; = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ....... + 2017.2018.2019 - 2016.2017.2018\\\;\;\;\;\; = 2017.2018.2019\\ \Rightarrow N = \frac{{2017.2018.2019}}{3} = 673.2017.2018.\end{array}$ 

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = M - N = 505.2017.2018.2019 - 673.2017.2018\\\;\;\;\;\;\;\; = 2017.2018\left( {505.2019 - 673} \right)\\\;\;\;\;\;\;\; = 2017.2018.1019528.\end{array}$

Chọn B.