Phương pháp giải:

a)  Phân tích các số ra thừa số nguyên tố sau đó chọn ta các thừa số nguyên tố chung.  UCLN bằng tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của số đó.

b) Phân tích các số ra thừa số nguyên tố sau đó chọn ta các thừa số nguyên tố chung và riêng. BCNN bằng tích của tất cả các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất.

c) Gọi \(x\)  là số học sinh khối \(6\) \(\left( {200 < x < 300} \right).\)  Từ đề bài ta có  \(x\,\, \vdots \,\,30\,\,;\,\,x\,\, \vdots \,\,40\,\,;\,\,x\,\, \vdots \,\,48\)  suy ra \(x \in BC\,(30;\,\,40;\,\,48)\)

Tìm \(BCNN\left( {30;\,\,40;\,\,48} \right)\) bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố, sau đó tìm \(BC\left( {30;\,\,40;\,\,48} \right)\).

Kết hợp với điều kiện \(200 < x < 300\) để tìm \(x\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(60 = {2^2}.3.5\,\,\,;\,\,\,\,\,\,70 = 2.5.7\,\,\,;\,\,\,\,\,\,90 = {2.3^2}.5\)

Do đó \(UCLN(60;\,\,70;\,\,90) = 2.5 = 10\).

b) Ta có: \(56 = {2^3}.7\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,126 = {2.3^2}.7\)

 Do đó \(BCNN(56\,;\,\,126) = {2^3}{.3^2}.7 = 504\).

c) Gọi \(x\)  là số học sinh khối \(6\), \(x\) là số tự nhiên và \(\left( {200 < x < 300} \right).\)

Vì nếu chia số học sinh này thành các nhóm có cùng sở thích, mỗi nhóm có \(30\) em, \(40\) em, \(48\) em thì vừa đủ nên ta có  \(x\,\, \vdots \,\,30\,\,;\,\,x\,\, \vdots \,\,40\,\,;\,\,x\,\, \vdots \,\,48\).

Suy ra \(x \in BC\,(30;\,\,40;\,\,48)\) .

Ta có: \(30\, = 2.3.5\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,40 = {2^3}.5\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,48 = {2^4}.3\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BCNN(30\,;\,\,40\,;\,\,48) = {2^4}.3.5 = 240\\ \Rightarrow BC{\rm{ }}(30\,;\,\,40\,;\,\,48) = B\left( {240} \right) = \left\{ {0;{\rm{ 24}}0;{\rm{ 48}}0;{\rm{ 72}}0;{\rm{ }} \ldots } \right\}\end{array}\).

Do đó: \(x \in \left\{ {0;{\rm{ 24}}0;{\rm{ 48}}0;{\rm{ 72}}0;{\rm{ }} \ldots } \right\}\)

Lại có \(200 < x < 300\) nên \(x = 240\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy khối \(6\) có \(240\) học sinh.

Chọn D.