Phương pháp giải:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có tập xác định D.

+) Nếu $\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D$ và $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là hàm chẵn.

+) Nếu $\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D$ và $f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là hàm lẻ.

Lời giải chi tiết:

Ta có TXĐ của cả hai hàm số đều là R.

$\forall x \in R \Rightarrow  - x \in R$.

Ta có: $f\left( { - x} \right) = \left| { - 2x + 1} \right| + \left| { - 2x - 1} \right| = \left| {2x + 1} \right| + \left| {2x - 1} \right| = f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right)$ là hàm chẵn.

         $g\left( { - x} \right) = 2{\left( { - x} \right)^3} + 3\left( { - x} \right) =  - 2{x^3} - 3x =  - g\left( x \right) \Rightarrow g\left( x \right)$ là hàm lẻ.

Chọn D.