Phương pháp giải:

Đặt \(\cos \,x = t,\,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = f\left( t \right) = 2{t^2} + t - 1\) trên đoạn  \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Lời giải chi tiết:

\(y = \cos 2x + \cos x = 2{\cos ^2}x + \cos x - 1\)

Đặt \(\cos \,x = t,\,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Hàm số trở thành \(y = f\left( t \right) = 2{t^2} + t - 1\),  .

\(f'\left( t \right) = 4t + 1,\,\,\,f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{1}{4}\)

Ta có:  \(f\left( { - 1} \right) = 0,\,\,f\left( { - \frac{1}{4}} \right) =  - \frac{9}{8},\,\,f\left( 1 \right) = 2\,\,\, \Rightarrow M = 2,\,\,m =  - \frac{9}{8}\,\, \Rightarrow M + m = \frac{7}{8}\).

Chọn: D