Phương pháp giải:

Do $\frac{{{x^2} + x + 1}}{x} = 4$nên ${x^2} + x + 1 = 4x$

Phân tích tử số và mẫu số, làm xuất hiện ${x^2} + x + 1$ và thay thế ${x^2} + x + 1$ bởi $4x$.

Lời giải chi tiết:

Do $\frac{{{x^2} + x + 1}}{x} = 4$nên ${x^2} + x + 1 = 4x$

Xét tử số:

 $\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x{}^5 - 4{x^3} - 3x + 9\\ = \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3} - {x^2} - 4x + 5} \right) + \left( { - 4x + 4} \right)\\ = \,4x\left( {{x^3} - {x^2} - 4x + 5} \right) + \left( { - 4x + 4} \right)\\ = 4\left( {{x^4} - {x^3} - 4{x^2} + 4x + 1} \right)\\ = 4\left[ {\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 3} \right) + 9x + 4} \right]\\ = 4\left[ {4x\left( {{x^2} - 2x - 3} \right) + 9x + 4} \right]\\ = 4\left[ {4x\left( {{x^2} + x + 1 - 3x - 4} \right) + 9x + 4} \right]\\ = 4\left[ {4x\left( {4x - 3x - 4} \right) + 9x + 4} \right]\\ = 4\left( {4{x^2} - 7x + 4} \right)\\ = 16\left( {{x^2} + x + 1} \right) - 44x\\ = 16.4x - 44x = 20x\end{array}$

Tương tự, mẫu số:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^4} + 3{x^2} + 11\\ = \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 3} \right) - 2x + 8\\ = 4x\left( {{x^2} + x + 1 - 2x + 2} \right) - 2x + 8\\ = 4x\left( {4x - 2x + 2} \right) - 2x + 8\\ = 8{x^2} + 6x + 8\\ = 8\left( {{x^2} + x + 1} \right) - 2x\\ = 8.4x - 2x = 30x\end{array}$

Vậy $P = \frac{{20x}}{{30x}} = \frac{2}{3}$ .