Phương pháp giải:

Mặt cầu tâm A tiếp xúc với (SBC) có bán kính $R = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)$

Diện tích mặt cầu: ${S_{mc}} = 4\pi {R^2}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC; O là giao điểm của AN và CM. Kẻ $AH \bot SN\,\,\left( {H \in SN} \right)$.

Tam giác ABC đều, tâm O $\Rightarrow OA = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3}.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3$

Tam giác SAO vuông tại O $\Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {6 - 3}  = \sqrt 3$

Tam giác SBC cân tại N $\Rightarrow SN \bot BC \Rightarrow$Tam giác SNC vuông tại N

$\Rightarrow SN = \sqrt {S{B^2} - B{N^2}}  = \sqrt {6 - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {15} }}{2}$

Tam giác AHN đồng dạng tam giác SON $\Rightarrow \frac{{AH}}{{SO}} = \frac{{AN}}{{SN}} \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\frac{{3\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt {15} }}{2}}} = \frac{3}{{\sqrt 5 }}$ $\Rightarrow AH = \frac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}$

Diện tích mặt cầu: ${S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\frac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = \frac{{108\pi }}{5}$.

Chọn: B