Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích mặt cầu: ${{S}_{mc}}=4\pi {{R}^{2}}$

Lời giải chi tiết:

Gọi O và O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp 2 đáy như hình vẽ

Ta có: R_cầu = IA = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’

Ta có góc giữa đường chéo A’B với mặt đáy (ABC) chính là góc $\widehat{ABA'}={{60}^{0}}$

Khi đó ta có: $AA'=AB.\tan {{60}^{0}}=a.\sqrt{3}$

Ta có: $IO=\frac{OO'}{2}=\frac{AA'}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ABC đều với O là trọng tâm nên $AO=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Xét tam giác vuông AIO ta có:

$I{{A}^{2}}=I{{O}^{2}}+A{{O}^{2}}={{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}+\frac{3{{a}^{2}}}{9}=\frac{13{{a}^{2}}}{12}\Rightarrow IA=\frac{a\sqrt{39}}{6}$ Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là:

$S=4\pi .{{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{39}}{6} \right)}^{2}}=4\pi .\frac{{{a}^{2}}.39}{36}=\frac{13}{3}\pi {{a}^{2}}$

Chọn A.