Phương pháp giải:

Đồ thị hàm đa thức bậc ba có cực trị (tương đương với điều kiện có 2 điểm cực trị) $\Leftrightarrow$ phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{*{20}{l}}{TXD:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} D = R}\\\begin{array}{l}y = \frac{1}{3}\left( {m + 1} \right){x^3} - {x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + 3\\ \Rightarrow y' = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2x + 2m + 1\\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){x^2} - 2x + 2m + 1\, = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\end{array}$

+) Với $m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1$ $\Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow  - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow$ Hàm số có 1 điểm cực trị.

+) Với $m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 1$

Để đồ thị hàm số có cực trị (có 2 cực trị) khi và chỉ khi phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  m+1\ne 0  \\  {\Delta }'=1-\left( m+1 \right)\left( 2m+1 \right)>0  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m\ne \text{ }\!\!~\!\!\text{ }-1  \\   -2{{m}^{2}}-3m>0  \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow m \in \left( { - \frac{3}{2};0} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}$

Kết hợp 2 TH ta thấy hàm số đã cho có cực trị $\Leftrightarrow m \in \left( { - \frac{3}{2};\,\,0} \right).$

Chọn B.