Phương pháp giải:

Dựa vào dữ kiện góc và mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng để xác định chiều cao khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $MC$$\Rightarrow \,\,SH\bot \left( ABCD \right).$

Ta có $\widehat{SM;\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SM;MH \right)}=\widehat{SMH}={{60}^{0}}.$

Tam giác $BMC$ vuông tại $B,$ có $MC=\sqrt{B{{M}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}.$

Tam giác $SMC$ vuông tại $S,$ có

$\cos \widehat{SMC}=\frac{SM}{MC}\Rightarrow SM=\cos {{60}^{0}}.a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SC=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$

Suy ra $SH=\frac{SM.SC}{MC}=\left( \frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{2} \right):a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}.$

Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{4}.2{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}.$

Chọn D