Phương pháp giải:

Xác định thể tích khối chóp thông qua phương pháp dựng hình với các yếu tố đặc biệt, đưa về biểu thức chứa hai biến $x,\,\,y$ và đánh giá thông qua bất đẳng thức, khảo sát hàm số để tìm GTLN của thể tích

Lời giải chi tiết:

Gọi $I,\,\,H$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,\,BC.$ Ta có $\left\{ \begin{align}  & BI\bot SA \\ & CI\bot SA \\\end{align} \right.\Rightarrow SA\bot \left( BIC \right)$ và ${{V}_{S.IBC}}={{V}_{A.IBC}}.$

Lại có $BI=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{I}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{2}.$

Và $IH=\sqrt{I{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{\frac{4-{{x}^{2}}}{4}-\frac{{{y}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}{2}.$

Diện tích tam giác $IBC$ là ${{S}_{\Delta \,IBC}}=\frac{1}{2}.IH.BC=\frac{y}{4}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.$

Suy ra ${{V}_{S.IBC}}={{V}_{A.IBC}}=\frac{1}{3}.\frac{x}{2}.\frac{y}{4}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=\frac{xy}{24}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.$

Khi đó, thể tích khối chóp $S.ABC$ là ${{V}_{S.ABC}}=2\,{{V}_{S.IBC}}=\frac{xy}{12}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.$

Ta có $xy\le \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}$$\Rightarrow$$V\le \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{24}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.$

Đặt $t=\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}\in \left( 0;2 \right),$ khi đó $V\le f\left( t \right)=\frac{t\left( 4-{{t}^{2}} \right)}{24}\le \frac{16\sqrt{3}}{9}$ (khảo sát hàm số).

Vậy giá trị lớn nhất của ${{V}_{S.ABC}}$ là ${{V}_{\max }}=\frac{2\sqrt{3}}{27}.$

Chọn B.