Phương pháp giải:

$\tan \,a - \tan b = {{\sin a} \over {\cos a}} - {{\sin b} \over {\cos b}} = {{\sin a\cos b - \sin b\cos a} \over {\cos a\cos b}} = {{\sin (a - b)} \over {\cos a\cos b}}$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{  & \tan \,a - \tan b = {{\sin a} \over {\cos a}} - {{\sin b} \over {\cos b}} = {{\sin a\cos b - \sin b\cos a} \over {\cos a\cos b}} = {{\sin \left( {a - b} \right)} \over {\cos a\cos b}}  \cr   & a\,{\rm{tanA + }}\,b\,{\rm{tanB}}\,{\rm{ = }}\,(a + b)\,{\rm{tan}}{{A + B} \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow a\left( {\tan A - \tan {{A + B} \over 2}} \right) + b\left( {\tan B - \tan {{A + B} \over 2}} \right) = 0 \Leftrightarrow a{{\sin \left( {A - {{A + B} \over 2}} \right)} \over {\cos A\cos {{A + B} \over 2}}} + b{{\sin \left( {B - {{A + B} \over 2}} \right)} \over {\cos B\cos {{A + B} \over 2}}} = 0  \cr   &  \Leftrightarrow a{{\sin \left( {{{A - B} \over 2}} \right)} \over {\cos A\cos {{A + B} \over 2}}} + b{{\sin \left( {{{B - A} \over 2}} \right)} \over {\cos B\cos {{A + B} \over 2}}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {{a\sin \left( {{{A - B} \over 2}} \right)\cos B - b\sin \left( {{{A - B} \over 2}} \right)\cos A} \over {\cos A\cos B\cos {{A + B} \over 2}}} = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \sin {{A - B} \over 2}.\left( {a\cos B - b\cos A} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \matrix{  \sin {{A - B} \over 2} = 0 \hfill \cr   a\cos B - b\cos A = 0 \hfill \cr}  \right. \cr}$

+) $\sin {{A - B} \over 2} = 0 \Leftrightarrow A = B$: Tam giác ABC cân tại C.

+)  $a\cos B - b\cos A = 0 \Leftrightarrow a.{{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} - b.{{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} = 0 \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - {b^2} - {b^2} - {c^2} + {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = 0\,$ (Loại).

Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại C.

Chọn: C.