Phương pháp giải:

Rút gọn biểu thức bên trong dấu lim bằng phương pháp xác định tổng của các phân số (bù trừ) từ đó tính lim của biểu thức

Lời giải chi tiết:

Ta có \(1+2+3+\,\,...\,\,+n=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\) (tổng của cấp số cộng với \({{u}_{1}}=1;\,\,d=1\)).

Khi đó \(\frac{1}{1+2}+\,...\,+\frac{1}{1+2+\,...\,+n}=\frac{2}{2.3}+\frac{2}{3.4}+\frac{2}{4.5}+\,\,...\,\,+\frac{2}{n\left( n+1 \right)}=2\left( \frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\,\,...\,\,+\frac{1}{n\left( n+1 \right)} \right)\)

\(=2\left( \frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+\frac{5-4}{4.5}+\,\,...\,\,+\frac{n+1-n}{n\left( n+1 \right)} \right)=2\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\,\,...\,\,+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)=2\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{n+1} \right).\)

Do đó \(\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\,...\,+\frac{1}{1+2+\,...\,+n}=1+2\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{n+1} \right)=2-\frac{2}{n+1}=\frac{2n}{n+1}.\) Vậy \(L=\lim \frac{2n}{n+1}=2.\)

Chọn C