Phương pháp giải:

Gọi hình chiếu của đỉnh, xác định góc từ đó tính chiều cao suy ra thể tích khối lăng trụ.

Công thức tính thể tích lăng trụ : $V={{S}_{d}}.h.$

Lời giải chi tiết:

Gọi $H$ là hình chiếu của ${A}'$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$$\Rightarrow \,\,{A}'H\bot \left( ABC \right).$

Suy ra $\widehat{A{A}';\left( ABC \right)}=\widehat{\left( A{A}';AH \right)}=\widehat{{A}'AH}={{30}^{0}}.$

Tam giác ${A}'AH$ vuông tại $H,$ có $\sin \widehat{{A}'AH}=\frac{{A}'H}{A{A}'}\Rightarrow {A}'H=\frac{a}{2}.$

Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là $V={A}'H.{{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{a}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$

Chọn D