Phương pháp giải:

+) Xác định góc giữa mặt bên và đáy.

+) Xác định khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên.

+) Áp dụng công thức tính thể tích ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}h.{S_d}$

Lời giải chi tiết:

Gọi $H$ là tâm tam hình vuông $ABCD \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$

Gọi $E$ là trung điểm của $BC$ ta có : $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AE\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot SE$

$\Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SE;AE} \right)} = \widehat {SEA} = {45^0}$

Trong $\left( {SAE} \right)$ kẻ $HK \bot SE \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow HK = a$

$\begin{array}{l} \Rightarrow HE = \frac{{HK}}{{\cos 45}} = a\sqrt 2 \\\Rightarrow AB = 2HE = 2a\sqrt 2  \Rightarrow {S_{ABCD}} = 8{a^2}\\SH = HE.\tan 45 = a\sqrt 2 \\\Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .8{a^2} = \frac{{8{a^3}\sqrt 2 }}{3}\end{array}$

Chọn B.