Câu hỏi:
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 9cm, BC = 15cm\) đường cao \(AH\).
a) Tính \(AH\) và \(CH\).
b) Qua \(B\) vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt đường thẳng \(AC\) tại \(D\). Tia phân giác của góc \(C\) cắt \(AB\) tại \(N\) và \(BD\) tại \(M\). Chứng minh \(CN.CD=CM.CB\).
c) Chứng minh \(\dfrac{{NA}}{{MD}} = \dfrac{{CA}}{{CD}}\).
- A a) \(AH = 9,6cm; CH = 7,2cm\)
- B a) \(AH = 7,2cm; CH = 9,6\)
- C a) \(AH = 4,8cm; CH = 9,6cm\)
- D a) \(AH = 4,8cm; CH = 7,2cm\)
Phương pháp giải:
Lời giải chi tiết:
a) Theo định lý Py – ta – go ta có: \(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {15^2} - {9^2} = 144 \Rightarrow AC = 12\,\,\left( {cm} \right)\).
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, ta có: \(AH.BC=AB.AC\).
\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{9.12}{15}=7,2\,\,\left( cm \right)\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \(A{{C}^{2}}=BC.CH\Rightarrow CH=\dfrac{A{{C}^{2}}}{BC}=\dfrac{{{12}^{2}}}{15}=9,6\,\,\left( cm \right)\).
b) Ta có: \(\angle {{C}_{1}}=\angle {{C}_{2}}\,\,\left( gt \right)\Rightarrow \Delta CAN\sim \Delta CBM\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \dfrac{CN}{CM}=\dfrac{CA}{CB}\,\,\left( 1 \right)\).
Dễ thấy \(\Delta CAB\sim \Delta CBD\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CB}{CD}\,\,\left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \dfrac{CN}{CM}=\dfrac{CB}{CD}\Rightarrow CN.CD=CM.CB\).
c) Vì ∆CAN đồng dạng với ∆CBM (cmt) ta có: \(\dfrac{NA}{CA}=\dfrac{MB}{CB}\,\,\left( 3 \right)\).
Tia CM là phân giác của góc BCD (gt) nên \(\dfrac{{MB}}{{MD}} = \dfrac{{CB}}{{CD}} \Leftrightarrow \dfrac{{MB}}{{CB}} = \dfrac{{MD}}{{CD}}\,\,\left( 4 \right)\).
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \dfrac{{NA}}{{CA}} = \dfrac{{MD}}{{CD}} \Rightarrow \dfrac{{NA}}{{MD}} = \dfrac{{CA}}{{CD}}\).
