📚Học hết sức – Giá hết hồn!
Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 2a và tam giác ABC có góc A bằng 1200 và BC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a
Phương pháp giải:
- Xác định chính xác vị trí của tâm mặt cầu.
- Sử dụng định lý Sin, tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy
asinA=bsinB=csinC=2R
Trong đó, R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
Vì SA = SB = SC nên hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC⇒SO⊥(ABC).
Gọi M là trung điểm của SC.
Trong mặt phẳng (SOC), dựng MI⊥SC,I∈SO.
Vì I∈SO⇒IA=IB=IC
I∈IM⇒IS=IC
⇒IA=IB=IC=IS⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Áp dụng định lý Sin, ta có : BCsinA=2r (r: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
⇔2asin1200=2r⇔r=2a√3
Tam giác SOC vuông tại O: SO2=SC2−OC2=(2a)2−(2a√3)2=8a3⇒SO=a√83.
Dễ dàng chứng minh: ΔSMI đồng dạng ΔSOC⇒SISC=SMSO⇔SI2a=aa√83⇒SI=a√62
Vậy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng SI=a√62.
Chọn: D.