Phương pháp giải:

Sử dụng các phương pháp xác định góc – khoảng cách trong không gian

Lời giải chi tiết:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Ta có  AB \\ CD $\Rightarrow$ CD \\ (SAB)

$\Rightarrow$ d(SA,CD) = d(CD,(SAB))= 2d(O,(SAB))= $a\sqrt 3$

Gọi M là trung điểm của AB, kẻ $OK\bot SM\,\,\left( K\in SM \right)\,\,\left( 1 \right)$ ta có :

$\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OM\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow AB \bot OK\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right)\Rightarrow d\left( O;\left( SAB \right) \right)=OK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SMO  vuông tại , có$\frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{K^2}}} \Rightarrow SO = a\sqrt 3$ .

Chọn D.