Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Xác định ${{45}^{0}}=\widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC;AC \right)}=\widehat{SCA}$

$\Rightarrow \Delta SAC$ vuông cân tại A $\Rightarrow SA=AC=2a\sqrt{2}=BD.$

Gọi $O=AC\cap BD$, ta có $\left\{ \begin{array}{l}DO \bot AC\\DO \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow DO \bot \left( {SAC} \right)$ nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (SAC) là SO.

Do đó $\widehat{\left( SD;\left( SAC \right) \right)}=\widehat{\left( SD;SO \right)}=\widehat{DSO}\in \left( {{0}^{0}};{{90}^{0}} \right).$

Ta có $DO=\frac{1}{2}BD=a\sqrt{2}=AO;\,\,SO=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{O}^{2}}}=a\sqrt{10}$.

Tam giác vuông SOD, có $\tan \widehat{DSO}=\frac{OD}{OS}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Chọn A.