Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Giao điểm của SO và (ABCD) là O.

Bài ra có $SA\bot \left( ABCD \right)$ tại $A\Rightarrow \widehat{\left( SO;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SOA}$

$\Rightarrow \tan \alpha =\tan \widehat{SOA}=\frac{SA}{OA}.$

Cạnh SA đã biết bằng $a\sqrt{3},$ ta cần tính cạnh OA.

Tam giác ABC vuông tại B

$\Rightarrow A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+3{{a}^{2}}\Rightarrow AC=2a$

$\Rightarrow OA=\frac{AC}{2}=a\Rightarrow \tan \alpha =\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}.$

Chọn A.