Phương pháp giải:

Dựa vào cách xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của BC khi đó $SH\bot BC$.

Mặt khác $\left( SBC \right)\bot \left( ABC \right)$ do đó $SH\bot \left( ABC \right)$.

Ta có $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $AB=AC=\frac{a}{\sqrt{2}};AH=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$.

Do $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHA} \right)$. Dựng $HK\bot SA$ khi đó $HK$ là đoạn vuông góc chung của $BC$ và $SA$.

Lại có $HK=\frac{SH.AH}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Vậy $d\left( SA;BC \right)=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

Chọn B.