Phương pháp giải:

+) Dựa vào cách xác định mặt phẳng (P) chứa đường thẳng SA và vuông góc với đường thẳng BD.

+) Xác định giao điểm của mặt phẳng (P) với BD.

+) Trong (P) từ giao điểm đó kẻ đường thẳng vuông góc với SA.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)$.

Trong (SAC) kẻ $OK\bot SA\,\,\left( 1 \right)$ ta có : $OK\subset \left( SAC \right)\Rightarrow OK\bot BD\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có OK là đường vuông góc chung của SA và BD.  Khi đó $d\left( SA;BD \right)=OK=\frac{SO.OA}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}}=\frac{\sqrt{3}.\frac{2\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}}=\frac{\sqrt{30}}{5}.$

Chọn B.