ƯU ĐÃI 50% HỌC PHÍ + CƠ HỘI NHẬN MÃ "LOCDAUNAM" GIẢM THÊM 600K HỌC PHÍ
Giờ
Phút
Giây
Câu hỏi:
Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính bằng 2 và mặt phẳng (P). Khoảng cách từ O đến (P) bằng 4. Từ điểm M thay đổi trên (P) kẻ các tiếp tuyến MA, MB, MC tới (S) với A, B, C là các tiếp điểm. Biết mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm I cố định. Tính độ dài OI.
Phương pháp giải:
+) Dự đoán điểm cố định.
+) Dựa vào các yếu tố cố định và không đổi có trong đề bài chứng minh dự đoán trên là đúng.
Lời giải chi tiết:
A, B, C là các tiếp điểm nên tam giác ABC nội tiếp một đường tròn nhỏ của hình cầu. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử AB là đường kính của đường tròn đó.
Gọi H là hình chiếu của O trên (P), I=OH∩AB
Dễ thấy AOHM là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 900)
⇒^OHA=^OMA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OA)
Mà ^OMA=^BAO (cùng phụ với ^OAB)
⇒^OHA=^OAB=^OBA⇒ Tứ giác OAHB nội tiếp.
⇒^OHB=^OAB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung OB), mà
^OAB=^OBA⇒^OHB=^OBA⇒ΔOIB∽ΔOBH⇒OIOB=OBOH⇒OI=OB2OH
Do OB, OH không đổi ⇒OI không đổi, mà O cố định, OH cố định ⇒I cố định. Vậy (ABC) luôn đi qua điểm I cố định và OI=OB2OH=224=1
Chọn D.