Phương pháp giải:

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng độ dài đoạn vuông góc chung.

Lời giải chi tiết:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD; O là trọng tâm của ABC, G là giao điểm của DO và IJ.

* Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD:

Các tam giác ABC, ABD đều và bằng nhau, suy ra các đường cao tương ứng $DI=IC$.

$\Rightarrow \Delta DIC$cân tại I

Mà IJ là trung tuyến $\Rightarrow IJ\bot CD$ (1)

Ta có: $IC\bot AB$ (vì tam giác ABC đều), $DO\bot AB\,$(vì $DO\bot (ABC)$

$\Rightarrow AB\bot (DIC)\Rightarrow AB\bot IJ$ (2)

Từ (1), (2) suy ra IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD $\Rightarrow d(AB,\,CD)=IJ$

* Tính IJ:

Tam giác ABC đều, cạnh a $\Rightarrow IC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

J là trung điểm CD $\Rightarrow JC=\frac{a}{2}$

Tam giác IJC vuông tại J $\Rightarrow I{{C}^{2}}=I{{J}^{2}}+J{{C}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=I{{J}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow IJ=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Chọn: B.