Phương pháp giải:

Phá dấu giá trị tuyệt đối.

\(\begin{array}{l}\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\,\\ - x\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\\\left| {x + 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge  - 1\,\\ - x - 1\,\,khi\,\,x <  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó, ta xét 3 trường hợp

Lời giải chi tiết:

Ta xét 3 trường hợp

Ta có: \(\left| x \right| + 2\left| {x + 1} \right| \le {x^2} \Leftrightarrow x + 2\left( {x + 1} \right) \le {x^2} \Leftrightarrow  - {x^2} + 3x + 2 \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\x \le \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện\(\,x\ge 0\)  ta có \(x\ge \frac{3+\sqrt{17}}{2}\)

Ta có: \(\left| x \right| + 2\left| {x + 1} \right| \le {x^2} \Leftrightarrow  - x + 2\left( {x + 1} \right) \le {x^2} \Leftrightarrow  - {x^2} + x + 2 \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le  - 1\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện\(-1\le x<0\)  ta có \(x=-1\)

Ta có: \(\left| x \right| + 2\left| {x + 1} \right| \le {x^2} \Leftrightarrow  - x - 2(x + 1) \le {x^2} \Leftrightarrow  - {x^2} - 3x - 2 \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\x \le  - 2\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện \(x<-1\) ta có \(x\le -2\)

Kết hợp ba trường hợp ta có nghiệm của bất phương trình là \(S=\left( -\infty ;-2 \right]\cup \left\{ -1 \right\}\cup \left[ \frac{3+\sqrt{17}}{2};+\infty  \right)\)

Chọn B.