Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

Tam giác \(SAC\) đều có \(I\) là trung điểm của \(SC\) nên \(AI\bot SC\).

\(\Rightarrow \) (I) đúng.

Gọi \(H\) là trung điểm \(AC\) suy ra \(SH\bot AC\). Mà \(\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)\) theo giao tuyến \(AC\) nên \(SH\bot \left( ABC \right)\) do đó \(SH\bot BC\). Hơn nữa theo giả thiết tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) nên \(BC\bot AC\).

Từ đó suy ra \(BC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BC\bot AI.\) Do đó đáp án (III) đúng.

Từ mệnh đề (I) và (III) suy ra mệnh đề (IV) đúng.

Ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\end{array}\).

Suy ra (II) đúng.

Vậy cả 4 mệnh đề trên đều đúng.

Chọn D.