Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm AB, suy ra $\Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).$

Vì $SH \bot \left( {ABCD} \right)$ nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt đáy (ABCD) là HD. Do đó $\widehat {\left( {SD;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SD;HD} \right)} = \widehat {SDH}.$

● Tam giác SAB đều cạnh a nên $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

● Tam giác AHD vuông tại

$A\,\, \Rightarrow HD = \sqrt {A{H^2} + A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.$

Tam giác vuông SHD, có $\cot \widehat {SDH} = \frac{{DH}}{{SH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{5}{{\sqrt {15} }}.$

Chọn A.