Trả lời câu hỏi 3 trang 48 SGK Hình học 12

LG a

a) Đi qua $8$ đỉnh của hình lập phương.

Lời giải chi tiết:

Tâm mặt cầu là giao điểm các đường chéo chính.

Bán kính mặt cầu là $OA = \displaystyle{1 \over 2}AC’$

Đường chéo hình vuông cạnh $a$ là $AC = a\sqrt 2$

Xét tam giác vuông $ACC’$ tại $C$:

Ta có: $AC' = \sqrt {A{C^2} + C'{C^2}}$ $= \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3$

Do đó $AO = \dfrac{1}{2}AC' = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy bán kính mặt cầu đi qua $8$ đỉnh hình lập phương cạnh $a$ là $R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

LG b

b) Tiếp xúc với $12$ cạnh của hình lập phương.

Lời giải chi tiết:

Vì ABCDA'B'C'D' là hình lập phương nên các tứ giác: ABC’D’ , BCD’A’, CDA’B’, DAB’C’, AA’C’C, BB’D’D là các hình chữ nhật bằng nhau.

Xét hình chữ nhật ABC’D’ ta có:

O là trung điểm của AC’ và BD’ $\Rightarrow OA = OB = OC' = OD'$

$\Rightarrow \Delta OAB = \Delta OC'D' \Rightarrow d(O,AB) = d(O,C'D') = \frac{{BC'}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Tương tự ta cũng chứng minh được khoảng cách từ O đến các cạnh còn lại là $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Suy ra tồn tại mặt cầu tâm O, bán kính $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ tiếp xúc với 12 cạnh.

Vậy mặt cầu $(O,\frac{{a\sqrt 2 }}{2})$ tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương.

LG c

c) Tiếp xúc với $6$ mặt của hình lập phương.

Lời giải chi tiết:

Tâm mặt cầu tiếp xúc $6$ mặt của hình lập phương là trung điểm $I$ của đường nối hai tâm đáy.

Bán kính mặt cầu là $r= \displaystyle{1 \over 2} AA’$ $=\displaystyle{a \over 2}$

Loigiaihay.com