Giải bài 5 trang 49 SGK Hình học lớp 12

LG a

a) Chứng minh rằng $MA.MB = MC.MD$.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các tam giác đồng dạng để chứng minh các tỉ lệ giữa các cạnh. Từ đó suy ra tích cần chứng minh.

+) Sử dụng định lý Pi-ta-go và tỉ lệ vừa chứng minh ở câu a để tính đại lượng cần tính.

Lời giải chi tiết:

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đã cho. Mặt phẳng$(P)$ cắt mặt cầu $S(O;r)$ theo một đường tròn tâm $I$, là hình chiếu vuông góc của $O$ lên mặt phẳng $(P)$.

Xét hai tam giác $MAD$ và $MCB$ có:

+) $\widehat B = \widehat D$ (Hai góc cùng chắn một cung)

+) $\widehat M$ chung

$\Rightarrow \Delta MAD$ đồng dạng với $\Delta MCB.$

$\Rightarrow{{MA} \over {MC}} = {{MD} \over {MB}}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

$\Rightarrow MA.MB=MC.MD \, \, \, (dpcm)$

LG b

b) Gọi $MO = d$. Tính $MA.MB$ theo $r$ và $d$.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các tam giác đồng dạng để chứng minh các tỉ lệ giữa các cạnh. Từ đó suy ra tích cần chứng minh.

+) Sử dụng định lý Pi-ta-go và tỉ lệ vừa chứng minh ở câu a để tính đại lượng cần tính.

Lời giải chi tiết:

b) Đặt $MO = d$, ta có $OI$ vuông góc với $(P)$ và ta có:

$O{M^2} = M{I^2} = O{I^2};O{A^2} = O{I^2} + I{A^2}$

Hạ $IH$ vuông góc $AB$, ta có $H$ là trung điểm của $AB$.

Ta có $MA = MH - HA$; $MB = MH + HB = MH + HA$.

$MA.MB = M{H^2} - H{A^2}$ $= (M{H^2} + H{I^2}) - (H{A^2} + I{H^2})$ $=M{I^2} - I{A^2}$ $= (M{I^2} + O{I^2}) - (I{A^2} + O{I^2})$ $= O{M^2} - O{A^2}$ $= {d^2} - {r^2}$

Vậy $MA.MB = {d^2} - {r^2}$.

Loigiaihay.com