Giải bài 7 trang 49 SGK Hình học lớp 12

LG a

a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.

Phương pháp giải:

Xác định tâm và bán kính của hình hộp dựa vào tính chất các đường chéo của hình hộp thì bằng nhau

Lời giải chi tiết:

Trong hình hộp chữ nhật, bốn đường chéo $\displaystyle AC', BD', CA' và DB'$ cắt nhau tại điểm $\displaystyle I$ là trung điểm của mỗi đường.

Vì $\displaystyle 4$ đường chéo trong hình hộp chữ nhật bằng nhau, nên điểm $\displaystyle I$ cách đều $\displaystyle 8$ đỉnh của hình hộp chữ nhật. Nó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.

Vì $\displaystyle AB = b, AD = c, AA' = a$ nên bán kính mặt cầu $\displaystyle R = {1 \over 2}A'C$

$\Delta A'AC$ vuông tại A nên theo Pitago ta có: $A'{C^2} = A'{A^2} + A{C^2}$

$\Delta ABC$ vuông tại B nên theo Pitago ta có: $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}$ $= {b^2} + {c^2}$

Do đó

$\begin{array}{l}A'{C^2} = A'{A^2} + A{C^2}\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2}\\ \Rightarrow A'C = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \\ \Rightarrow R = \frac{{A'C}}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}\end{array}$

LG b

b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$ với mặt cầu trên.

Phương pháp giải:

Đường tròn cần tìm là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$.

Lời giải chi tiết:

Giao tuyến của mặt phẳng$\displaystyle ( ABCD)$ với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật $\displaystyle ABCD.A'B'C'D'$ là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $\displaystyle ABCD$. Nên bán kính của đường trong giao tuyến là: 

$\displaystyle r = {1 \over 2}AC = {1 \over 2}\sqrt {{b^2} + {c^2}}$

Loigiaihay.com