Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác

Lời giải chi tiết:

Trong tam giác SAC, kẻ $AI\bot SC$ $\left( \,I\in SC \right)$.

Trong mp(SBC), kẻ ${{d}_{1}}$ đi qua I vuông góc với SC cắt SB tại M.

Trong mp(SCD), kẻ ${{d}_{2}}$ đi qua I vuông góc với SC cắt SD tại N.

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mp $\left( \alpha  \right)$ là tứ giác AMIN.

Ta có $SC\bot \left( \alpha  \right)\Rightarrow SC\bot AM$.   (1)

Lại có $\left\{ \begin{align}  & BC\bot AB \\ & BC\bot SA \\\end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AM$.   (2)

Từ (1) và (2), suy ra $AM\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AM\bot MI$. Chứng minh tương tự, ta được $AN\bot NI$.

Do đó ${{S}_{AMIN}}={{S}_{\Delta AMI}}+{{S}_{\Delta ANI}}=\frac{1}{2}AM.MI+\frac{1}{2}AN.NI$.

Vì AM, AI, AN là các đường cao của các tam giác vuông SAB, SAC, SAD nên

$AM=\frac{SA.AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}$;   $AI=\frac{SA.AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=a\sqrt{2}$;   $AN=\frac{SA.AD}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\frac{2a\sqrt{21}}{7}$.

Suy ra $MI=\sqrt{A{{I}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\frac{a\sqrt{30}}{5}$  và  $NI=\sqrt{A{{I}^{2}}-A{{N}^{2}}}=\frac{a\sqrt{14}}{7}$.

Vậy ${{S}_{AMIN}}=\frac{1}{2}\left( \frac{2a}{\sqrt{5}}.\frac{a\sqrt{30}}{5}+\frac{2a\sqrt{21}}{7}.\frac{a\sqrt{14}}{7} \right)=\frac{12{{a}^{2}}\sqrt{6}}{35}$.

Chọn B