Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AC, suy ra \(BI\bot AC\).

Ta có \(\left\{ \begin{align}  & BI\bot AC \\ & BI\bot SA \\\end{align} \right.\Rightarrow BI\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BI\bot SC\).   (1)

Kẻ \(IH\bot SC\) \(\left( H\in SC \right)\).   (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(SC\bot \left( BIH \right)\).

Vậy thiết diện cần tìm là tam giác IBH.

Do \(BI\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BI\bot IH\) nên \(\Delta \,IBH\) vuông tại I.

Ta có BI đường cao của tam giác đều cạnh a nên \(BI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Tam giác CHI đồng dạng tam giác CAS, suy ra

\(\frac{IH}{SA}=\frac{CI}{CS}\Rightarrow IH=\frac{CI.SA}{CS}=\frac{CI.SA}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\frac{\frac{a}{2}.2a}{\sqrt{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}\)

Vậy \({{S}_{\Delta \,BIH}}=\frac{1}{2}BI.IH=\frac{1}{2}\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{5}}{5}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{15}}{20}.\)

Chọn D.