Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác

Lời giải chi tiết:

Gọi F là trung điểm AC, suy ra EF // SA.

Do \(SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot AB\) nên \(EF\bot AB\).   \(\left( 1 \right)\)

Gọi J, G lần lượt là trung điểm AB, AJ.

Suy ra \(CJ\bot AB\) và \(FG\parallel CJ\) nên \(FG\bot AB\).   \(\left( 2 \right)\)

Trong \(\Delta \,SAB\) kẻ \(GH\parallel SA\) \(\left( H\in SB \right)\), suy ra \(GH\bot AB\).   \(\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\), suy ra thiết diện cần tìm là hình thang vuông EFGH, vuông tại G và F.

Do đó \({{S}_{EFGH}}=\frac{1}{2}\left( EF+GH \right).FG\).

Ta có \(EF=\frac{1}{2}SA=\frac{a}{2}\); \(FG=\frac{1}{2}CJ=\frac{a\sqrt{3}}{4}\); \(\frac{GH}{SA}=\frac{BG}{BA}=\frac{3}{4}\Rightarrow GH=BG=\frac{3a}{4}.\)

Vậy \({{S}_{EFGH}}=\frac{1}{2}\left( \frac{a}{2}+\frac{3a}{4} \right).\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{5{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}\).

Chọn C